Benoît Mandelbrot y Fractals

Hace dos semanas falleció el famoso matemático franco-estadounidense Benoît Mandelbrot. Nació en Polonia, estudió en Francia, en la École Polytechnique, bajo Gaston Julia and Paul Lévy. Más tarde obtuvo su phD en la Universidad de París. Vivió la mayor parte de su vida en Estados Unidos, trabajando para IBM. El Dr. Mandelbrot se hizo famoso por haber concebido la "geometría de Fractals". El se inventó la palabra "fractal" y dedujo el famoso "Conjunto de Mandelbrot".

"Fractals" son figuras geométricas que tienen la propiedad de "auto-similaridad" (homeo-morfismo), es decir, que si se subdividen en partes más pequeñas, éstas son idénticas a la figura original. El conjunto de Mandelbrot, la figura de la izquierda, se obtiene al graficar, en el plano complejo, la ecuación: zn+1 = zn2 + c. No vamos a entrar en detalles (para no aburrir a los lectores que no tengan inclinación hacia las matemáticas), pero la idea es comenzar con z0 = 0, c = i y aplicarlo repetidamente a la fórmula anterior mientras que el valor de z se mantenga dentro de cierto límite superior.

Debido a su carácter repetitivo, el conjunto de Mandelbrot es ideal para calcularlo con un programa de computador. Al final de la década de los 1980s, recuerdo haber jugado con un programa escrito en el lenguaje C, que en un procesador de 10 MHz se tardaba toda una semana para generar una sola imagen. Ese fue mi pasatiempo por varios meses, y no dejaban de asombrarme las imágenes resultantes, que mostraban magnificaciones a distintos puntos de ese espacio; los colores se pueden reciclar, o restringir a ciertos valores, hasta lograr unas imágenes espectaculares.

Hoy día, se consiguen en internet programas gratuitos, que, dada la velocidad de los procesadores actuales, 3 GHz, generan estas imágenes en pocos segundos. Uno de tales programas se llama XaoS (para Linux, Windows, MacOS, etc)

En realidad, ya desde el siglo XIX varios matemáticos (Weierstrass, Koch, Lévy, Sierpinski, Hilbert, y otros) habían creado figuras auto-similares. Pero no es hasta la aparición del ordenador digital que se logra explorar visualmente este tipo de figuras en el plano complejo.

Con un poco de imaginación, (y buen conocimiento de matemáticas y algoritmos) se pueden crear figuras hermosas, hasta en tres dimensiones.

Pero el cuento no termina ahí: Los fractals también ocurren en la naturaleza. Podemos encontrar figuras auto-similares en nubes, copos de nieve, cristales, picos de montañas, rayos, redes de ríos, en la coliflor, las hojas de los helechos, las ramas de los árboles, y en los sistemas de venas y pulmones.

Inclusive hay quienes se atreven a sugerir que toda la naturaleza salió de ecuaciones de fractals. De hecho, los que trabajan con gráficos por computador, normalmente utilizan fractals para generar imágenes que parezcan a la naturaleza.

Fractals también se han aplicado a la clasificación de histopatología, a los estudios de complejidad de las costas (geología), al estudio de la bolsa de valores y mercados, a la generación de nueva música, a algoritmos para compresión de imágenes, al diseño de antenas, etc.

La humanidad debe mucho a todas estas nuevas ciencias que se originaron con el Dr Mandelbrot.

Referencias:
Benoît Mandelbrot, en la wikipedia
"Fractals", en la wikipedia
"Conjunto de Mandelbrot", en la wikipedia
XaoS, en la wikipedia
GNU XaoS, programa para generar fractals, página oficial
"The Fractal Geometry of Nature", Mandelbrot (libro en Amazon)
"Seven Life Lessons of Chaos", John Briggs (libro en Amazon)
"Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications", Kenneth Falconer